Страница: << 359 360 361 362 363 364 365 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 86117

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Раскраски ] [ Теория игр (прочее) ] [ Простые числа и их свойства ] [ Деление с остатком ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Аффинная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98184

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Подсчет двумя способами ] [ Неравенство Коши ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
  б) А может ли быть ровно 50?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98355

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Пусть  1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x),  где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде  (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x),  где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105070

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105071

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 359 360 361 362 363 364 365 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями