Страница: << 362 363 364 365 366 367 368 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109498

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

В однокруговом футбольном турнире играли  n > 4  команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
  а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
  б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109499

Темы:   [ Точка Торричелли ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109505

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Общие четырехугольники ] [ Углы между биссектрисами ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средняя линия треугольника ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что  ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111342

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

 k ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до  k – 1,  то эти значения равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111344

Темы:   [ Раскраски ] [ Деление с остатком ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 362 363 364 365 366 367 368 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями