Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78510

Темы:   [ Окружности на сфере ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300^o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.

Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64732

Темы:   [ Описанные многогранники ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Поверхность выпуклого многогранника A₁B₁C₁A₂B₂C₂ состоит из восьми треугольных граней A_iB_jC_k, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65211

Темы:   [ Сферы (прочее) ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65677

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Ориентированные графы ] [ Деревья ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее N матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66471

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC₁, BCD₁, CDE₁, DEF₁, EFA₁ и FAB₁. Оказалось, что треугольник B₁D₁F₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник A₁C₁E₁ также равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями