Страница: << 361 362 363 364 365 366 367 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107771

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого  k > 1  найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107795

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что  3^n–1 – 2^n–1 кратно n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107856

Темы:   [ Метод координат на плоскости ] [ Системы линейных уравнений ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Линейная и полилинейная алгебра ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На отрезке  [0, 1]  отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107998

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Индукция (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
  а) не более 460 камней;
  б) не более 461 камня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108169

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Композиции гомотетий ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 361 362 363 364 365 366 367 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями