Страница: << 354 355 356 357 358 359 360 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107789

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107794

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Для какого наибольшего n можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности A и B такие, что любой кусок последовательности B длиной n содержится в A, A имеет период 1995, а B этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?

Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107992

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Для каждой пары действительных чисел a и b рассмотрим последовательность чисел p_n = [2{an + b}]. Любые k подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины k будет словом последовательности, заданной некоторыми a и b при k = 4; при k = 5?

Примечание: [c] - целая часть, {c} - дробная часть числа c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108095

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Поворот на $90^\circ$ ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108104

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 354 355 356 357 358 359 360 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями