Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 352 353 354 355 356 357 358 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78676

Темы:	[	Композиции поворотов	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом $\alpha$ , переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол $\beta$ . Дано, что $\beta$ < $\alpha$ < 180^o. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Прислать комментарий Решение

Задача 78721

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей 78710 и с задачей 78716.)

Прислать комментарий Решение

Задача 78802

Темы:	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
Темы:	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

В пространстве даны точка O и n попарно непараллельных прямых. Точка O ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?

Прислать комментарий Решение

Задача 79257

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Конягин С.В.

Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 79373

Темы:	[	Производные высших порядков	]
	[	Интеграл и первообразная	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 352 353 354 355 356 357 358 >> [Всего задач: 2003]