Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 349 350 351 352 353 354 355 >> [Всего задач: 2003]

Задача 111337

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Митрофанов И.В.

У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?

Прислать комментарий Решение

Задача 52395

[Теорема Мансиона.]

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 77887

Тема:

[

Иррациональные уравнения

]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Найти действительные корни уравнения:

x² + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$ 0 < a < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 77891

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Даны два треугольника: $\Delta$ ABC и $\Delta$ DEF и точка O. Берется любая точка X в $\Delta$ ABC и любая точка Y в $\Delta$ DEF; треугольник OXY достаивается до параллелограмма OXZY. а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник. б) Сколько сторон он может иметь? в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 78233

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 100 расположено N кругов радиуса 1, причём всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг. Доказать, что N $\ge$ 400.

Примечание Problems.Ru: Рассматриваются открытые круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 349 350 351 352 353 354 355 >> [Всего задач: 2003]