Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 350 351 352 353 354 355 356 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78254

Темы:	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Конус (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

Прислать комментарий Решение

Задача 78505

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и A'B'C'D'E' связаны соотношением:

S_A'B'C'D'E' $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCDE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78543

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

Прислать комментарий Решение

Задача 78547

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78548

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более n – 1 врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 350 351 352 353 354 355 356 >> [Всего задач: 2003]