Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 346 347 348 349 350 351 352 >> [Всего задач: 2003]

Задача 79498

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79501

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий Решение

Задача 79620

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?

Прислать комментарий Решение

Задача 105056

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Осьмова Е.Н.

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Прислать комментарий Решение

Задача 105211

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Прямоугольный тетраэдр	]
	[	Движение помогает решить задачу	]
	[	Метод координат в пространстве (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все грани которых — прямоугольные треугольники?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 346 347 348 349 350 351 352 >> [Всего задач: 2003]