Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 343 344 345 346 347 348 349 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78628

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78659

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Существует ли четырёхугольник ABCD площади 1 такой, что для любой точки O внутри него площадь хотя бы одного из треугольников OAB, OBC, OCD, DOA иррациональна.

Прислать комментарий Решение

Задача 78684

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что R $\ge$ 1/3.

Прислать комментарий Решение

Задача 78687

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Правильный треугольник ABC разбит на N выпуклых многоугольников так, что каждая прямая пересекает не более 40 из них (мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если они имеют общую точку, например, если прямая проходит через вершину многоугольника). Может ли быть N больше миллиона?

Прислать комментарий Решение

Задача 78756

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
Темы:	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Бернштейн И.Д.

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 343 344 345 346 347 348 349 >> [Всего задач: 2003]