Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 342 343 344 345 346 347 348 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78263

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78270

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Прислать комментарий Решение

Задача 78291

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78573

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Малые шевеления	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан биллиард прямоугольной формы. В его углах имеются лузы, попадая в которые шарик останавливается. Шарик выпускают из одного угла бильярда под углом 45^o к стороне. В какой-то момент он попал в середину некоторой стороны. Доказать, что в середине противоположной стороны он побывать не мог.

Прислать комментарий Решение

Задача 78609

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 342 343 344 345 346 347 348 >> [Всего задач: 2003]