Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 344 345 346 347 348 349 350 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78782

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

Прислать комментарий Решение

Задача 78809

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

Прислать комментарий Решение

Задача 78830

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 79253

Тема:

[

Теория игр (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского вдвое меньше максимальной скорости гангстера. Доказать, что полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером.

Прислать комментарий Решение

Задача 79298

Темы:	[	Сфера, касающаяся ребер угла	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы один из шаров?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 344 345 346 347 348 349 350 >> [Всего задач: 2003]