Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 341 342 343 344 345 346 347 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78215

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий Решение

Задача 78220

Тема:

[

Принцип крайнего (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78223

Темы:	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Композиции поворотов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Доказать, что любой несамопересекающийся пятиугольник лежит по одну сторону от хотя бы одной своей стороны.

Прислать комментарий Решение

Задача 78244

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел ( x₁, x₂,..., x_n) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма a₁x₁ + ... + a_nx_n, где (a₁...a_n) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?

Прислать комментарий Решение

Задача 78250

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если A, B, C — любые три из них, то внутри треугольника ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник A₁A₂...A_n будет выпуклым.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 341 342 343 344 345 346 347 >> [Всего задач: 2003]