Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 338 339 340 341 342 343 344 >> [Всего задач: 2003]

Задача 76526

Тема:

[

Тригонометрические неравенства

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что если $\alpha$ и $\beta$ — острые углы и $\alpha$ < $\beta$ , то

$\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 76534

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

На сторонах PQ, QR, RP треугольника PQR отложены отрезки AB, CD, EF. Внутри треугольника задана точка S₀. Найти геометрическое место точек S, лежащих внутри треугольника PQR, для которых сумма площадей треугольников SAB, SCD, SEF равна сумме площадей треугольников S₀AB, S₀CD, S₀EF. Рассмотреть особый случай, когда

$\displaystyle {\frac{AB}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{QR}}$ = $\displaystyle {\frac{EF}{RP}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 76553

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
Темы:	[	Пятиугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ лежит выпуклый четырёхугольник A₅A₆A₇A₈. Внутри A₅A₆A₇A₈ выбрана точка A₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 77879

Темы:	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
Темы:	[	Скалярное произведение	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Каково наибольшее возможное число лучей в пространстве, выходящих из одной точки и образующих попарно тупые углы?

Прислать комментарий Решение

Задача 77916

[77916]

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
Темы:	[	Касательные к сферам	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 338 339 340 341 342 343 344 >> [Всего задач: 2003]