Страница: << 335 336 337 338 339 340 341 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54638

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66598

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Выпуклый многогранник с вершинами в серединах ребер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66603

Темы:   [ Построения с помощью вычислений ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли такой выпуклый четырехугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67305

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10,11

Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67309

Темы:   [ Оценка + пример ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на верхних $k$ карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 335 336 337 338 339 340 341 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями