Страница: << 332 333 334 335 336 337 338 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116007

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из n человек, команда математических – из m, причём  n ≠ m.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116008

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Q_p(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  f(n) – Q_p(n)  делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что  g(n) = f(n)  для любого целого n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116213

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что  a = b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116229

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b.
  а) Докажите, что если  k = 2,  то  a = b.
  б) В случае  k = 3  приведите пример такой таблицы, для которой  a ≠ b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116574

Темы:   [ Свойства разверток ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.).

Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 332 333 334 335 336 337 338 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями