Страница: << 329 330 331 332 333 334 335 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107834

Темы:   [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107843

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107863

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Числа x, y, z удовлетворяют равенству  x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107981

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.

Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 329 330 331 332 333 334 335 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями