Страница: << 331 332 333 334 335 336 337 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111332

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Уравнения в целых числах ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

У игрока есть m золотых и n серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких m и n крупье не сможет ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111910

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Инварианты ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111920

Темы:   [ Средние величины ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115501

Темы:   [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведения чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115502

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Доказательство от противного ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.
Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 331 332 333 334 335 336 337 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями