Страница: << 336 337 338 339 340 341 342 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67314

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67453

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли она скормить котикам поровну мяса?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67454

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67613

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x + y + z$ – квадрат натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 74220

Темы:   [ Теория множеств (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 336 337 338 339 340 341 342 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями