Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78766

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8

Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 33 на 11 групп, по три числа в каждой, так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78779

Темы:   [ Пространственные многоугольники ] [ Сферы (прочее) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 11

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78805

Тема:   [ Процессы и операции ]

Сложность: 3 Классы: 8

На конгресс приехали 1000 делегатов из разных стран. Каждый делегат знает несколько языков. Известно, что любые трое могут разговаривать между собой без помощи остальных. (При этом, возможно, одному из них придётся переводить разговор двух других.) Доказать, что всех делегатов можно расселить в 500 комнатах так, чтобы в каждой комнате располагались 2 делегата и при этом они могли бы поговорить между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78823

Тема:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8

На плоскости проведены четыре прямые a, b, c, d. Никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Известно, что прямая a параллельна одной из медиан треугольника, образованного прямыми b, c, d. Доказать, что прямая b параллельна некоторой медиане треугольника, образованного прямыми a, c и d.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79237

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 9

Может ли число, состоящее из шестисот шестёрок и некоторого количества нулей, быть квадратом целого числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями