Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78701

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Правильные многоугольники ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78703

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Дана бесконечная последовательность чисел a₁, ..., a_n, ... Она периодична с периодом 100, то есть  a₁ = a₁₀₁,  a₂ = a₁₀₂,  ... Известно, что  a₁ ≥ 0,  a₁ + a₂ ≤ 0,  a₁ + a₂ + a₃ ≥ 0  и вообще, сумма  a₁ + a₂ + ... + a_n  неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что  |a₉₉| ≥ |a₁₀₀|.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78707

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3 Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что  m = n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78728

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Внутри правильного треугольника ABC лежит точка O. Известно, что AOB = 113^o, BOC = 123^o. Найти углы треугольника, стороны которого равны отрезкам OA, OB, OC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78729

Темы:   [ Взвешивания ] [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8

В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями