Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]

Задача 77964

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Отношение порядка	]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?

Прислать комментарий

Решение

Задача 77937

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

В $\Delta$ ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что $\Delta$ LMN всегда остроугольный (независимо от вида $\Delta$ ABC).

Прислать комментарий Решение

Задача 77942

Тема:

[

Арифметические действия. Числовые тождества

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите тождество

	(ax + by + cz + du)² + (bx + cy + dz + au)² + (cx + dy + az + bu)² +
	+ (dx + ay + bz + cu)² =
	= (dx + cy + bz + au)² + (cx + by + az + du)² + (bx + ay + dz + cu)² +
	+ (ax + dy + cz + bu)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 77946

Тема:

[

Неравенства с модулями

]

Сложность: 3-
Классы: 10,11

Докажите, что

$\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$ $\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1,

если | x| < 1 и | y| < 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77941

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]