Версия для печати
Убрать все задачи

---

Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди?

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66711

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66712

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66716

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66735

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66742

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями