Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

   Решение

---

Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами сносным, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.

   Решение

Страница: << 241 242 243 244 245 246 247 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108128

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108132

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108595

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS.
Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108599

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Неравенства для элементов треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n, проведены отрезки ко всем вершинам: OA₁, OA₂, ..., OA_n . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём  ∠OA₁A_n ≤ ∠OA₁A₂,  ∠OA₂A₁ ≤ ∠OA₂A₃,  ...,
∠OA_n–1A_n–2 ≤ ∠OA_n–1A_n,  ∠OA_nA_n–1 ≤ ∠OA_nA₁.  Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108609

Темы:   [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 241 242 243 244 245 246 247 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями