Страница: << 296 297 298 299 300 301 302 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97983

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Полуинварианты ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a₁, a₂, a₃, ..., a_n.  Берётся сумма  S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97994

Темы:   [ Обход графов ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98004

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что если K чётно, то числа от 1 до  K – 1  можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на K.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98005

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Метод усреднения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98006

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить  3n + 1  звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 296 297 298 299 300 301 302 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями