Страница: << 293 294 295 296 297 298 299 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97884

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Последовательность чисел  x₁, x₂, ...  такова, что  x₁ = ½  и     для всякого натурального k.

Найдите целую часть суммы  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97896

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетичные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97898  [Сизифов труд]

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На горе 1001 ступенька, на некоторых лежат камни, по одному на ступеньке. Сизиф берёт любой камень и переносит его на ближайшую сверху свободную ступеньку (то есть, если следующая ступенька свободна то на неё, а если занята, то на несколько ступенек вверх до первой свободной). После этого Аид скатывает на одну ступеньку вниз один из камней, у которых предыдущая ступенька свободна. Камней 500, и первоначально они лежали на нижних 500 ступеньках. Сизиф и Аид действуют по очереди, начинает Сизиф. Его цель – положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97905

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел  a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ ... ≥ a_2k+1 ≥ 0.
Докажите неравенство:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97909

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Двое играют в такую игру. Дана шоколадка с продольными и поперечными углублениями, по которым её можно ломать. Первый разламывает шоколадку по одной из линий, второй разламывает одну из частей, первый разламывает одну из трёх образовавшихся частей и т. д. Игра заканчивается в тот момент, когда в результате очередного хода возникнет долька, на которой уже нет углублений; сделавший этот ход выигрывает. На шоколадке 60 долек: имеется 5 продольных и 9 поперечных углублений. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 293 294 295 296 297 298 299 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями