Страница: << 114 115 116 117 118 119 120 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67069

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого  $i$ = 1, 2, ..., $n$  верно одно из равенств  $a_i = i$  или  $a_i = i$ + 1.  Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67070

Темы:   [ Стереометрия (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA, PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67072

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67074

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На Поле Чудес выросло 11 золотых монет, но стало известно, что ровно четыре из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать Буратино четыре монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67075

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$, $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$.
Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 114 115 116 117 118 119 120 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями