ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      



Задача 64984  (#10.3)

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Перпендикулярные прямые в пространстве ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Дано два тетраэдра A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Рассмотрим шесть пар рёбер AiAj и BkBl, где  (i, j, k, l)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, A1A2 и B3B4). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65029  (#3)

Темы:   [ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30╟ ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64969  (#8.4)

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Шестиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64977  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64985  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Теорема Паскаля ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .