ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 67057

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка. При каком наибольшем числе N найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно N различных возможных финишных точек?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67058

Тема:   [ Неравенства с модулями ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что $|a-b|\leqslant k$ или $|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}|\leqslant k$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67059

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что $\angle PDA = \angle PBA$. Пусть $\omega_1$ — вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая напротив вершины $A$. Пусть $\omega_2$ — вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$ параллельна $AD$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67052

Темы:   [ Подобие ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин — на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон — на $BD$. Какой из шестиугольников больше?

Прислать комментарий     Решение


Задача 67053

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Пусть $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$ (то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Докажите для любых натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ неравенство $$ \bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor+ \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor+ \ldots+ \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor\geqslant a_1+a_2+\ldots+a_n. $$
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .