Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.

   Решение

Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что  P – Q,  P и  P + Q  – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]      

Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, площадь которого равна 28, пересекаются в точке O. Найдите площади треугольников AOB, BOC, COD и DOA, если известно, что площадь треугольника AOB в 2 раза больше площади треугольника COD, а площадь треугольника BOC в 18 раз больше площади треугольника DOA.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AB = BC.  На диагонали BD выбрана такая точка K, что  ∠AKB + ∠BKC = ∠A + ∠C.
Докажите, что  AK·CD = KC·AD.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны,  CD = 4BC,  а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Чему может быть равно отношение  AD : AB?

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ω_A, ω_B, ω_C, ω_D – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через X_A произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим X_B, X_C, X_D. Докажите, что  X_A + X_B + X_C + X_D = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]