Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если  AB = AE = ED = 1,  то  BC + CD  < 1.

Вниз   Решение


На стороне AC треугольника ABC взята точка D так, что AD:DC=1:2 . Докажите, что у треугольников ADB и CDB есть по равной медиане.

ВверхВниз   Решение


Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 621 деталей, на 4 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 675 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

ВверхВниз   Решение


MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.

ВверхВниз   Решение


Точка M – середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точке M. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности, и ME – перпендикуляр к CD. Найдите угол AEB.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны.
Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

ВверхВниз   Решение


Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 667 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 754 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

ВверхВниз   Решение


Решить систему уравнений

    1 − x1x2x3 = 0,
    1 + x2x3x4 = 0,
    1 − x3x4x5 = 0,
    1 + x4x5x6 = 0,
      ...
    1 − x47x48x49 = 0,
    1 + x48x49x50 = 0,
    1 − x49x50x1 = 0,
    1 + x50x1x2 = 0.

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и L соответственно, причём  ∠KCB = ∠ LAB = α.  Из точки B опущены перпендикуляры BD и BE на прямые AL и CK соответственно. Точка F – середина стороны AC. Найдите углы треугольника DEF.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 462]      



Задача 54976

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K и L, причём  AM : MB = CK : KD = ½,  а
BN : NC = DL : LA = 1/3.
Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого – пересечения отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь параллелограмма ABCD равна 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54981

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки K и L расположены на стороне BC треугольника ABC, причём  BK : KC = 1 : 3  и  BL : LC = 1 : 2.  Tочки M и N расположены на стороне AC этого же треугольника, причём  AM = MN = NC.  Найдите отношение площади четырёхугольника KLPQ к площади треугольника ABC, если P и Q являются точками пересечения прямой BN с прямыми ML и AK соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54982

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки P и Q на стороне BC треугольника ABC выбраны так, что  BP : PQ : QC = 2 : 3 : 3. Точка R на продолжении стороны AB этого треугольника выбрана так, что B принадлежит отрезку AR и  AB : BR = 1 : 2.  Найдите отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T являются точками пересечения прямых AQ и AP с прямой CR соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54983

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём  BP : PC = 1 : 2  и  BQ : QC = 4 : 1.  Точка R расположена на продолжении стороны AC, а точка L является серединой той же стороны. При этом C принадлежит отрезку AR и  AC : CR = 2 : 1.  Найдите отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T являются точками пересечения прямой BR с прямыми LQ и AP соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54988

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P – середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что  2CD = 3RD.  Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если  AD = 2BC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 462]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .