Каталог по темам

Задачи

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 829]

Задача 67107

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

В окружности $\Omega $ хорды $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$ пересекаются в точке $O$. Пусть $B_i$ – вторая точка пересечения окружности $\Omega$ с окружностью, построенной на отрезке $OA_i$ как на диаметре. Докажите, что хорды $B_1B_2$, $B_3B_4$, $B_5B_6$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 65049

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Белухов Н., Маринов М.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73825

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Автор: Конягин С.В.

Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108138

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66659

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Авторы: Полянский А., Полянский Н.

На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 829]