Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?

Решение

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM — также прямой.

Решение

BD – биссектриса треугольника ABC. Точка E выбрана так, что ∠EAB = ∠ACB, AE = DC, и при этом отрезок ED пересекается с отрезком AB в точке K. Докажите, что KE = KD.

Решение

M – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. На основании BC выбрана такая точка P, что ∠APM = ∠DPM.
Докажите, что расстояние от точки C до прямой AP равно расстоянию от точки B до прямой DP.

Решение

Автор: Маркелов С.В.

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

Решение

Окружность, построенная как на диаметре на меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции, касается большей боковой стороны, равной a.
Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Окружность, построенная на большей боковой стороне AB прямоугольной трапеции ABCD как на диаметре, пересекает основание AD в его середине. Известно, что AB=10 , CD=6 . Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Основания трапеции равны 17 и 25. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение

Автор: Шноль Д.Э.

Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?

Решение

Высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC равна 4 , диагонали трапеции пересекаются в точке O , AOD = 120^o . Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.

Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC отложены равные отрезки AE и CF соответственно. Окружность, проходящая через точки B, C, E , и окружность, проходящая через точки A, B, F , пересекаются в точках B и D. Докажите, что BD – биссектриса угла ABC.

Решение

Что больше 2⁷⁰⁰ или 5³⁰⁰?

Решение

Задача 86487

Задача 98061

Задача 102833

Задача 67270

Задача 109146