Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

a и b – две данные стороны треугольника.
  Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
  При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)

Вниз   Решение


D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что  3n–1 – 2n–1 кратно n.

ВверхВниз   Решение


Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

ВверхВниз   Решение


Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 30° и 45° соответственно.
Найдите высоту, проведённую из вершины A.

ВверхВниз   Решение


При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа  a + b  и  an + bn  – целые?

ВверхВниз   Решение


Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

ВверхВниз   Решение


В шестиугольнике ABCDEF  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA  и  ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.
Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA, BHB и CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AHBHC, BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Постройте параллелограмм ABCD, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH и BP и середина стороны AD.

ВверхВниз   Решение


Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.

ВверхВниз   Решение


На продолжении AB, BC, CD и DA сторон выпуклого четырёхугольника ABCD откладываются отрезки BB1=AB; CC1=BC; DD1=CD; AA1=AD . Доказать, что площадь четырёхугольника A1B1C1D1 в пять раз больше площади четырёхугольника ABCD .

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC проведён отрезок CK, соединяющий вершину прямого угла с точкой K на гипотенузе AB так, что длины отрезков BK, CK и AK различны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, причём CK = 2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 3.

ВверхВниз   Решение


В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.

ВверхВниз   Решение


Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равняется стороне AB этого треугольника. Найдите высоту треугольника ABC, проведенную из точки C, если она меньше $ {\frac{1}{2}}$, а две другие стороны треугольника равны $ \sqrt{3}$ и 2.

ВверхВниз   Решение


Окружность пересекает стороны угла BAC в точках B, N, M и C, точка N находится между A и B, точка M — между A и C. Величины углов ACB и BMC равны $ {\frac{\pi}{3}}$ и $ {\frac{\pi}{4}}$ соответственно, BN = 2MN. Чему равна величина угла BAC?

ВверхВниз   Решение


Дан равносторонний треугольник ABC и прямая l, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Прямоугольник ABCD  (AB = a,  BC = b)  сложили так, что получился пятиугольник площади S (C легла в A). Докажите, что  S < ¾ ab.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 80]      



Задача 55216

Темы:   [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Среди всех треугольников с заданными сторонами AB и AC найдите тот, у которого наибольшая площадь.

Прислать комментарий     Решение


Задача 107608

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Пятиугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Прямоугольник ABCD  (AB = a,  BC = b)  сложили так, что получился пятиугольник площади S (C легла в A). Докажите, что  S < ¾ ab.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67405

Темы:   [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

В квадратном листе бумаги площади $1$ проделали дыру в форме треугольника (вершины дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугольник площади $\frac16$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67414

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78299

Темы:   [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 80]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .