В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной AB, как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N. Найдите MN, если  BC = a,  AC = b,  AB = c.

   Решение

В треугольнике ABC угол A равен 60^o ; AB:AC=3:2 . На сторонах AB и AC расположены соответственно точки M и N так, что BM=MN=NC . Найдите отношение площади треугольника AMN к площади треугольника ABC .

   Решение

Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=5 , AC=1 и CD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AC и BD равно 3, а прямая AC образует равные углы с прямыми AB , CD и MN .

   Решение

Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника
  а) какой-нибудь выпуклый пятиугольник,
  б) правильный пятиугольник.

   Решение

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

   Решение

Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L. Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса первой окружности к радиусу второй окружности равно . Найдите отношение отрезков OB и OA.

   Решение

Плоскость, проходящая через ребро AD и середину E ребра BC тетраэдра ABCD , образует углы α и β с гранями ACD и ABD этого тетраэдра. Найдите объём тетраэдра, если известно, что AD = a , а площадь треугольника ADE равна S .

   Решение

В треугольнике ABC AB=15 , BC=8 , CA=9 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=3:8 . Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .

   Решение

Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.

   Решение

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях и от концов гипотенузы. Найдите катеты.

   Решение

На плоскости даны точки A(-1;2) , B(-2;1) , C(-3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?

   Решение

Окружность с центром O проходит через вершину C ромба ABCD и касается лучей DC и DA . Найдите площадь ромба, если OA=4 , OD=5 .

   Решение

Найдите наименьшее значение  x² + y²,  если  x² – y² + 6x + 4y + 5 = 0.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠CAD + ∠BCA = 180°  и  AB = BC + AD.  Докажите, что  ∠BAC + ∠ACD = ∠CDA.

   Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 604]      

Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята такая точка M, что угол MAB на 15° больше угла MAC, а угол MCB на 15° больше угла MBC. Найдите угол BMC.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.

Прислать комментарий

Решение

а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.

Прислать комментарий

Решение

Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC  (AB = AC)  равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠CAD + ∠BCA = 180°  и  AB = BC + AD.  Докажите, что  ∠BAC + ∠ACD = ∠CDA.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 604]