- Проектирование (185 задач)
- Движения (33 задачи)
- Гомотетия (25 задач)
- Подобие (19 задач)
- Инверсия и стереографическая проекция (9 задач)
Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h .
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h .
Прямые a и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую a , лежат в одной плоскости.
Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и высотой h .
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, L – середина AC, а точка M на отрезке AB такова, что ∠AKM = ∠CKL. Докажите, что MA = MB.
Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом.
После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так,
чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?
Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.
Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 6 и 6,25. Диагональ трапеции, проведённая из вершины острого угла, является его биссектрисой. Найдите эту диагональ и площадь трапеции.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b .
Пусть A и B – две окружности, лежащие по одну сторону от прямой m . Постройте касательную к окружности A , которая после отражения от прямой m также коснётся окружности B .
Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2) и ak+1=ak+
при любом натуральном k .
Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите высоту пирамиды.
Прямые, симметричные диагонали BD четырёхугольника ABCD относительно биссектрис углов B и D, проходят через середину диагонали AC.
Докажите, что прямые, симметричные диагонали AC относительно биссектрис углов A и C, проходят через середину диагонали BD.
В кубе АВСDА1В1С1D1 площадь ортогональной проекции грани АА1В1В на плоскость, перпендикулярную диагонали АС1, равна 1.
Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды ABCD с основанием ABC равен α . Правильная усечённая пирамида ABCA1B1C1 разрезана по пяти рёбрам: A1B1 , B1C1 , C1C , CA и AB . После чего эту пирамиду развернули на плоскость. При каких значениях α получившаяся развёртка будет обязательно накрывать сама себя?
На боковом ребре пирамиды взяты две точки, делящие ребро на три равные части. Через них проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём части пирамиды, заключённой между этими плоскостями, если объём всей пирамиды равен 1.
Плоскость, проходящая через середины рёбер AB и CD треугольной пирамиды ABCD делит ребро AD в отношении 3:1, считая от вершины A . В каком отношении эта плоскость делит ребро BC ?
Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник
ABC ( C – вершина прямого угла), причём BC = 4 , OB = ,
а SO – высота пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды SABC , если
все её боковые грани одинаково наклонены к основанию и
угол их наклона равен arcsin
.
Пусть A – некоторая точка пространства, не лежащая в плоскости α , M – произвольная точка плоскости α . Найдите геометрическое место середин отрезков AM .
Пусть проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника A1BD . Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD .
Прямоугольный треугольник ABC является основанием пирамиды
SABC , SO – высота пирамиды, C – вершина прямого угла треугольника
ABC , OB = ,
COB =
. Все боковые грани
пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды под углом,
равным arctg
. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Пусть A , B , C и D – четыре точки в пространстве. Докажите, что середины отрезков AB , BC , CD и DA служат вершинами параллелограмма.
Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC к основанию одинаков и
равен arctg . Основанием пирамиды является прямоугольный
треугольник ABC (
ACB = 90o ); SO – высота пирамиды.
Найдите боковую поверхность пирамиды, если OB =
, а
радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 262]
Задача 110296 |
|
|
Два противоположных ребра единичного куба лежат на основаниях цилиндра, а остальные вершины - на боковой поверхности цилиндра. Одна из граней куба образует с основаниями цилиндра угол α ( α < 90o) . Найдите высоту цилиндра.
|
|
Решение |
Задача 110395 |
|
|
Объём треугольной пирамиды 1. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан данной пирамиды.
|
|
|
Решение |
Задача 110431 |
|
|
Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник
ABC ( C – вершина прямого угла). Все боковые грани пирамиды
наклонены к её основанию под одинаковым углом, равным arcsin .
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если SO – высота
пирамиды, AO = 1 , BO = 3
.
|
|
|
Решение |
Задача 110432 |
|
|
Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC к основанию одинаков и
равен arctg . Основанием пирамиды является прямоугольный
треугольник ABC (
ACB = 90o ); SO – высота пирамиды.
Найдите боковую поверхность пирамиды, если OB =
, а
радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.
|
|
Решение |
Задача 110433 |
|
|
Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник
ABC ( C – вершина прямого угла), причём BC = 4 , OB = ,
а SO – высота пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды SABC , если
все её боковые грани одинаково наклонены к основанию и
угол их наклона равен arcsin
.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 262]
