Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.

Решение

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.

Решение

Докажите, что площадь параллелограмма произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т.е.

S = ab sin $\displaystyle \gamma$ ,

где a и b — соседние стороны параллелограмма, $\gamma$ — угол между ними.

Решение

Авторы: Голенищева-Кутузова Т.И., Ященко И.В., Клепцын В.А.

В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат:
а) за 5 или менее;
б) за 4 или менее;
в) за 3 или менее таких перегибания?

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно. Прямая PQ пересекает стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP , BNQ , CMP и DMQ пересекаются в одной точке.

Решение

Три равные окружности радиуса R пересекаются в точке M . Пусть A , B и C – три другие точки их попарного пересечения. Докажите, что: а) радиус окружности, описанной около треугольника ABC , равен R ; б) M – точка пересечения высот треугольника ABC .

Решение

Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром O окружность S переходит в окружность S' , то O — один из центров гомотетии окружностей S и S' .

Решение

На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O , выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D , а прямую OA — в точке E . Докажите, что BC=DE .

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

Решение

Из точек A и B , лежащих на разных сторонах угла, восставлены перпендикуляры к сторонам, пересекающие биссектрису угла в точках C и D . Докажите, что середина отрезка CD равноудалена от точек A и B .

Решение

Автор: Заславский А.А.

B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

Решение

Два противоположных ребра единичного куба лежат на основаниях цилиндра, а остальные вершины - на боковой поверхности цилиндра. Одна из граней куба образует с основаниями цилиндра угол α ( α < 90^o) . Найдите высоту цилиндра.

Решение

Через вершины B , C и D трапеции ABCD ( AD|| BC ) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой AB , а её центр лежит на диагонали BD . Найдите периметр трапеции ABCD , если BC=9 , AD=25 .

Решение

Задача 110887

Задача 111538

Задача 111542

Задача 111543

Задача 53179