Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите угол между прямой AB и плоскостью BCD .

   Решение

В основании треугольной пирамиды NKLM лежит правильный треугольник KLM . Высота пирамиды, опущенная из вершины N , проходит через середину ребра LM . Известно, что KL = a , KN = b . Пирамиду пересекает плоскость β , параллельная рёбрам KN и LM . На каком расстоянии от вершины N должна находиться плоскость β , чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?

   Решение

Пусть точка z движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек
  а)  2z²;   б)  z + 3z²;   в) 3z + z²;   г)  z ^{– 3};   д)  (z – i)^–1;   е)  (z – 2)^–1;   ж)  Rz + ρzⁿ  (ρ < R).

   Решение

Найдите корень уравнения 22-x = 8 .

   Решение

В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то  AB = CD.

   Решение

Дан выпуклый n-угольник A₁...A_n. Пусть P_i  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая A_iP_i делит его площадь пополам. Известно, что все точки P_i не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

   Решение

В шаре радиуса 9 через точку S проведены три равные хорды AA1 , BB1 и CC1 так, что AS = 4 , A1S = 8 , BS < B1S , CS < C1S . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABC .

   Решение

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый n-угольник A₁...A_n. Пусть P_i  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая A_iP_i делит его площадь пополам. Известно, что все точки P_i не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

Прислать комментарий

Решение

Диагональ AC разбивает выпуклый четырёхугольник ABCD на две равновеликие части. Докажите, что если AB > AD, то BC < DC.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]