Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.
Докажите, что sin<
при 0<x<
.
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.
Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Решите уравнение:
Угол, образованный лучами y = x и y = 2x при x ≥ 0, высекает на параболе y = x² + px + q две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.
Окружность вписана в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC = a и AD = b. Точка H – проекция вершины B на AD, точка P – проекция точки H на AB, точка F лежит на отрезке BH, причём FH = AH. Найдите AB, BH, BP, DF и расположите найденные величины по возрастанию.
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между
любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между
любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше,
чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T0+at+bt2 , где T0 = 1160 К, a = 34 К/мин, b = -0,2 К/ мин2 . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?
Про углы треугольника ABC известно, что
и
. Найдите величину угла C.
Решите систему уравнений:
xy(x + y) = 30
x³ + y³ = 35.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T0+at+bt2 , где T0 = 200 К, a = 75 К/мин, b = -0,5 К/ мин2 . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
В треугольнике ABC (AB > BC) проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.
Одуванчик утром распускается, два дня цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днем на поляне было 20 жёлтых и
14 белых одуванчиков, а сегодня 15 жёлтых и 11 белых.
а) Сколько жёлтых одуванчиков было на поляне позавчера?
б) Сколько белых одуванчиков будет на поляне завтра?
Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом n > 3 можно найти многочлен вида Pn(x) = xn + ... + ax² + bx + c, имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]
Задача 111813 |
|
|
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
|
|
Решение |
Задача 115404 |
|
|
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
|
|
|
Решение |
Задача 98355 |
|
Пусть 1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).
|
|
|
Решение |
Задача 109621 |
|
|
Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?
|
|
|
Решение |
Задача 111831 |
|
|
Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом n > 3 можно найти многочлен вида Pn(x) = xn + ... + ax² + bx + c, имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]
