Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 93]

Задача 116704

Темы:	[	Двоичная система счисления	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 11

Автор: Косухин О.Н.

Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2ⁿ слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на (1 – x), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61392

[Неравенство Юнга]

Темы:	[	Классические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Неравенство Иенсена	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны рациональные положительные p, q, причём ¹/_p + ¹/_q = 1. Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство ab ≤ ^{a^p}/_p + ^{b^q}/_q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61411

[Неравенство Гёльдера]

Темы:	[	Классические неравенства	]
Темы:	[	Неравенство Иенсена	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть p и q – положительные числа, причём ¹/_p + ¹/_q = 1. Докажите, что
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35541

Темы:	[	Показательные уравнения	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Решите уравнение $2x^x=\sqrt{2}$ в положительных числах.

Прислать комментарий Решение

Задача 109573

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 93]