Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 94]

Задача 107841

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Производная в точке	]
	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На доске написаны три функции: f₁(x) = x + ¹/_x, f₂(x) = x², f₃(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций f₁, f₂, f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105191

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Теоремы о среднем значении	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Для заданных натуральных чисел k₀<k₁<k₂ выясните, какое наименьшее число корней на промежутке [0; 2π) может иметь уравнение вида

sin(k₀x)+A₁·sin(k₁x) +A₂·sin(k₂x)=0

где A₁, A₂ – вещественные числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56975

Темы:	[	Точки Брокара	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 7+
Классы: 10,11

Докажите, что для угла Брокара $\varphi$ выполняются следующие неравенства:
а) $\varphi^{3}_{}$ $\le$ ( $\alpha$ - $\varphi$ )( $\beta$ - $\varphi$ )( $\gamma$ - $\varphi$ );
б) 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ (неравенство Йиффа).

Прислать комментарий Решение

Задача 67195

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Производная и касательная	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Авторы: Мерзон Г.А., Клепцын В.А.

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.

Прислать комментарий Решение

Задача 61047

Темы:	[	Теорема Виета	]
	[	Кубические многочлены	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
а) 4x³ – 18x² + 24x = 8, 4x³ – 18x² + 24x = 9;
б) 4x³ – 18x² + 24x = 11, 4x³ – 18x² + 24x = 12?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 94]