Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 94]

Задача 66199

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109617

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61315

Темы:	[	Итерации	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Теоремы о среднем значении	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| $\leqslant$ q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| x_{n + 1} - x_n| $\displaystyle \leqslant$ | x₁ - x₀|^.qⁿ, | x* - x_n| $\displaystyle \leqslant$ | x₁ - x₀|^. $\displaystyle {\frac{q^n}{1-q}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61415

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Классические неравенства	]
	[	Неравенство Иенсена	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что если α < β, то S_α(x) ≤ S_β(x), причём равенство возможно только когда x₁ = x₂ = ... = x_n.
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий Решение

Задача 65411

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Производная и кратные корни	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Маркелов С.В.

На плоскости даны парабола y = x² и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 94]