Статья "Графы" (А. Савин)
Статья "Элементы теории графов" (В. Фосс)
Материалы по этой теме:
- Книги, журналы, Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки, глава 6. Графы-1
- Книги, журналы, Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки, глава 13. Графы-2
- Книги, журналы, Иванов С.В., Математический кружок, глава 5. Графы
Подтемы:
- Степень вершины (123 задачи)
- Связность и разложение на связные компоненты (67 задач)
- Деревья (36 задач)
- Планарные графы. Формула Эйлера (21 задача)
- Обход графов (79 задач)
- Ориентированные графы (48 задач)
- Теория графов (прочее) (81 задача)
Фильтр
Выбрано 29 задач Убрать все задачи
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что
Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK·AB = BO² и
AM·AB = AO². Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.
Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
Сторона ромба равна 8 см, острый угол равен 30o. Найдите радиус вписанного круга.
Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ – центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.
Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит три дороги, быть ровно 100 дорог?
Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.
От треугольника отрезали три треугольника, причём каждый из трёх разрезов коснулся вписанной в треугольник окружности. Известно, что периметры отрезанных треугольников равны P1, P2, P3. Найдите периметр исходного треугольника.
Доказать неравенство .
В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность.
Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.
Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?
Два угла треугольника равны 40° и 80°. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения
высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат
на описанной окружности.
На окружности расположены 20 точек. Эти 20 точек попарно соединяются 10
хордами, не имеющими общих концов и непересекающихся.
Сколькими способами это можно сделать?
Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.
Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами (p, q).
Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство ab/c + ac/b + bc/a ≥ a + b + c.
В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
Количество перестановок множества из n элементов обозначается Pn. Докажите равенство Pn = n!.
Докажите, что при удалении любого ребра из дерева оно превращается в несвязный граф.
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в
точке K, а вневписанная — в точке L.
Докажите, что
CK = BL = , где a, b, c — длины
сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.
Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x1, x2, x3, ..., x20}, заключённых между 0 и 1, что x1x2x3...x20 = (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – x20). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x1x2x3...x20 максимально.
У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства одно, пять или девять соседних баронств?
Докажите, что в дереве каждые две вершины соединены ровно одним простым путем.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 384]
Задача 30424 |
|
|
Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
|
|
Решение |
Задача 30425 |
|
|
Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.
|
|
Решение |
Задача 30426 |
|
|
Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
|
|
|
Решение |
Задача 30784 |
|
|
Докажите, что граф, в котором каждые две вершины соединены ровно одним простым путем, является деревом.
|
|
|
Решение |
Задача 30785 |
|
|
Докажите, что в дереве каждые две вершины соединены ровно одним простым путем.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 384]
