Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
Даны (2n - 1)-угольник
A1...A2n - 1 и точка O.
Прямые AkO и
An + k - 1An + k пересекаются в точке Bk.
Докажите, что произведение отношений
An + k - 1Bk/An + kBk(k = 1,..., n) равно 1.
Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.
AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
а) треугольник AA1C подобен треугольнику BB1C;
б) треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.
в) Найдите коэффициент подобия треугольников A1B1C и ABC, если ∠C = γ.
Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за пять дней столько молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за четыре дня.
У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?
В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?
В клетках таблицы 5×5 стоят ненулевые цифры. В каждой строке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлены десять пятизначных чисел. Может ли оказаться, что из всех этих чисел ровно одно не делится на 3?
Точка выходит из начала координат на прямой и делает a шагов на единицу вправо, b шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём a > b. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и
наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 расположено 7 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки на расстоянии не больше 1.
На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.
В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность, которая касается стороны CD в точке E.
Найдите хорду, соединяющую точки, в которых окружность пересекается с прямой AE.
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей – за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Две окружности пересекаются в точках M и K.
Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно,
пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую
в точках B и D. Докажите, что
AC || BD.
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Сколькими способами можно переставить числа от 1 до 100 так, чтобы соседние числа отличались не более, чем на 1?
Петин кот перед дождем всегда чихает. Сегодня он чихнул. ``Значит, будет дождь'' - думает Петя. Прав ли он?
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что A1C·BC = B1C·AC.
В треугольнике ABC найдите точку, из которой сторона AB видна под наименьшим углом.
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного
угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ
на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK
на отрезок PQ. Докажите, что
PAK =
MAQ.
На доске 100×100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга.
Докажите, что в правом верхнем и в левом нижнем квадратах размером 50×50 расставлено равное число ладей.
Две окружности пересекаются в точках A и B. К этим окружностям проведена общая касательная, которая касается окружностей в точках C и D. Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.
Пусть AA1 и BB1 – высоты треугольника ABC. Докажите, что треугольники A1B1C и ABC подобны. Чему равен коэффициент подобия?
Докажите, что
sin(/2)
c/(a + b).
Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две стороны, отношение которых заключено между числами 1/2 и 2.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Задача 57309 |
|
|
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
a = y + z, b = x + z и c = x + y, где x, y и z — положительные числа.
|
|
Решение |
Задача 57310 |
|
|
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
|
|
|
Решение |
Задача 35496 |
|
|
Даны 100 палочек. Верно ли, что из них можно выбрать несколько палочек, из которых можно сложить многоугольник?
|
|
|
Решение |
Задача 55176 |
|
|
В треугольнике две стороны равны 3,14 и 0,67. Найдите третью сторону, если известно, что её длина является целым числом.
|
|
|
Решение |
Задача 35482 |
|
|
Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две стороны, отношение которых заключено между числами 1/2 и 2.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
