Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Вниз   Решение


a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  an + bn + cn > 0  при любом натуральном n.

ВверхВниз   Решение


Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3$ \sqrt{39}$ и BC = $ \sqrt{39}$. Кроме того дано, что угол BAD равен 30o, а угол ADC равен 60o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

ВверхВниз   Решение


В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

arctg 1 + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение


Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  a, b, c, d, x, y, u, v  – вещественные числа и  abcd > 0,  то

(ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) ≥ (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy).

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A1B1C1 как $ {\frac{9}{2}}$. Найдите отношение периметра треугольника A1B1C1 к периметру треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что   KL || MN  и
KMNL.  Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.

ВверхВниз   Решение


Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной O и пересекает вторую сторону в точках A и B. Найдите радиус окружности, если OA = a и OB = b.

ВверхВниз   Решение


Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно m. Найдите углы треугольника.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 401]      



Задача 111064

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Биссектриса MN угла KML при основании ML равнобедренного треугольника KML делит сторону KL так, что KN=ML . Найдите биссектрису MN и периметр треугольника KML , если ML=4 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 64980

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Радикальная ось ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111715

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108133

Темы:   [ Касающиеся окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Общие четырехугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Прислать комментарий     Решение


Задача 52923

Темы:   [ Формула Эйлера ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема синусов ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно m. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 401]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .