Каталог по темам

Выбрано 14 задач

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников:
а) ABD и CBD;
б) AMD и CMD.

Решение

Прямоугольный треугольник ABC (∠A = 90°) и два квадрата BEFC и AMNC расположены так, что точки E и A лежат по разные стороны от прямой BC, а точки M и B – по одну сторону от прямой AC. Найдите расстояние между центрами квадратов, если AB = a.

Решение

Внутри треугольника имеются две точки. Расстояние от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же порядке) – 4, 5 и 11.
Найдите радиус вписанной окружности данного треугольника.

Решение

С помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился бы диагоналями на три равные части.

Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырёхугольника не превосходит 4, AD = 3. Найдите сторону BC.

Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы при вершинах B и D – прямые, ∠BCA = ∠DCE, а точка M – середина стороны AE. Доказать, что MB = MD.

Решение

Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a₁,...,a_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a₁ +...+ a_n = 0.

Решение

Пусть a и b — целые числа. Напишем число b справа от числа a. Если число a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число a₁ напишем под числом a. Справа от числа a₁ напишем число 2b. С числом a₁ проделаем ту же операцию, что и с числом a, и, получив число a₂, напишем его под числом a₁. Справа от числа a₂ напишем число 4b и так далее. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1. Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные числа, равна произведению ab.

Решение

Прямоугольный треугольник ABC (∠A = 90°) и два квадрата BEFC и AMNC расположены так, что точки E и A лежат по разные стороны от прямой BC, а точки M и B – по разные стороны от прямой AC. Найдите расстояние между центрами квадратов, если AB = a, AC = b.

Решение

Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка E – пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 7, а площадь всего четырёхугольника не превосходит 28; AD = . Найдите сторону BC.

Решение

а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE AE = AD, AC = AB и ∠DAC = ∠AEB + ∠ABE.
Докажите, что сторона CD в два раза больше медианы AK треугольника ABE.

Решение

На диагоналях AC и BD трапеции ABCD взяты соответственно точки M и N так, что AM : MC = DN : NB = 1 : 4.
Найдите MN, если основания AD = a, BC = b (a > b).

Решение

Задача 53615

Задача 53630

Задача 53742

Задача 53759

Задача 53774