Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

   Решение

Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с острым углом α . Боковая сторона трапеции и её меньшее основание равны. Найдите объём призмы, если диагональ призмы равна a и образует с плоскостью основания угол β .

   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите высоту пирамиды.

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус вписанной сферы.

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите радиус описанной сферы.

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между соседними боковыми гранями.

   Решение

Найдите число n сторон выпуклого n -угольника, если каждый его внутренний угол не меньше 143^o и не больше 146^o .

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания.

   Решение

Пусть a , b и c – стороны треугольника, m_a , m_b и m_c – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.

   Решение

Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α . Найдите объём призмы, если её большая диагональ равна l и образует с плоскостью основания угол β .

   Решение

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

   Решение

Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

   Решение

Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего.
Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.

   Решение

Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.

   Решение

n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

   Решение

Пусть a < b. Докажите, что  a + h_a b + h_b.

   Решение

Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC точки D и E делят боковые стороны в отношении  BD : DA = BE : EC = n.  Найдите углы треугольника, если AE ⊥ CD.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 122]      

В равнобедренном треугольнике ABC точки D и E делят боковые стороны в отношении  BD : DA = BE : EC = n.  Найдите углы треугольника, если AE ⊥ CD.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 4, основание BC равно 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причём точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найдите CN, если   BM : DN = 2 : 3.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC сторона AC равна 7, угол BCA равен 60°. Точка E, лежащая на стороне BC, удалена от вершины B на 6, F – точка пересечения AE с медианой BD. Найдите сторону AB, если  BF : FD = 3 : 2.

Прислать комментарий

Решение

Площадь треугольника ABC равна  2,  сторона BC равна 1,  ∠BCA = 60°.  Точка D стороны AB удалена от точки B на 3, M – точка пересечения CD с медианой BE. Найдите отношение  BM : ME.

Прислать комментарий

Решение

Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, а точка O расположена на отрезке AD, причём  AO : OD = 9 : 4.  Прямая, проходящая через вершину B и точку O, пересекает сторону AC в точке E, причём  BO : OE = 5 : 6.  Найдите отношение, в котором точка E делит сторону AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 122]