- Параллелограммы (993 задачи)
- Трапеции (688 задач)
- Вписанные четырехугольники (500 задач)
- Описанные четырехугольники (139 задач)
- Общие четырехугольники (16 задач)
- Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. (40 задач)
- Четырехугольники (прочее) (61 задача)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
По доске $n$×$n$ прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем каждый её ход был ровно на одну клетку. Клетки занумерованы от 1 до $n^2$ в порядке прохождения ладьи. Пусть $M$ – максимальная разность между номерами соседних (по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение $M$?
В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.
В равнобедренную трапецию ABCD (BC || AD) вписана окружность радиуса R, касающаяся основания AD в точке P и пересекающая отрезок BP в такой точке Q, что PQ = 3BQ. Найдите углы и площадь трапеции.
Даны два двузначных числа – X и Y. Известно, что X вдвое больше Y, одна цифра числа Y равна сумме, а другая – разности цифр числа X.
Найти эти числа.
Доказать: число делителей n не превосходит 2.
Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.
На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠CBQ.
б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.
С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нём каждый четвёртый день, второй – каждый пятый, третий – каждый шестой и четвёртый – каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?
В треугольник вписан ромб со стороной m так, что одни угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки, равные p и q. Найдите стороны треугольника.
Медианы AM и BE треугольника ABC пересекаются в точке O. Точки O, M, E, C лежат на одной окружности. Найдите AB, если BE = AM = 3.
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу.
На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём AE : EB = 1 : 2, а CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?
Вася нарисовал карандашом разбиение клетчатого прямоугольника на прямоугольники размером 3×1 (тримино), закрасил ручкой центральную клетку каждого из получившихся прямоугольников, после чего стер карандашные линии. Всегда ли можно восстановить исходное разбиение?
Докажите, что если в наборе целых чисел a1, ..., an хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.
В треугольнике ABC AA0 и BB0 – медианы, AA1 и BB1 – высоты. Описанные окружности треугольников CA0B0 и CA1B1 вторично пересекаются в точке Mc. Аналогично определяются точки Ma, Mb. Докажите, что точки Ma, Mb, Mc лежат на одной прямой, а прямые AMa, BMb, CMc параллельны.
В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.
Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
Задачи Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 2254]
Задача 54094 |
|
|
Вершины M и N равнобедренного треугольника BMN (BM = BN) лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD. Докажите, что MN || AC.
|
|
Решение |
Задача 54098 |
|
|
Через центр параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны AB и CD соответственно в точках M и K, вторая – стороны BC и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырёхугольник MNKL – параллеллограмм.
|
|
|
Решение |
Задача 54109 |
|
|
Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
|
|
Решение |
Задача 54113 |
|
|
Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c – параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 54115 |
|
|
Через каждую вершину параллеллограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.
|
|
|
Решение |
Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 2254]
