Каталог по темам

Выбрано 23 задачи

Выразите площадь треугольника ABC через длину стороны BC и величины углов B и C.

Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

Решение

Равные хорды окружности с центром O пересекаются в точке M. Докажите, что MO – биссектриса угла между ними.

Решение

Автор: Мухин Д.Г.

Окружность касается боковых сторон трапеции $ABCD$ в точках $B$ и $C$, а её центр лежит на $AD$. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.

Решение

Даны две пересекающиеся окружности радиуса R, причем расстояние между их центрами больше R. Докажите, что β = 3α (рис.).

Решение

Найдите геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных непараллельных прямых имеет данную величину.

Решение

В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 30°, АВ = ВС = 6. Проведены высота CD треугольника АВС и высота DE треугольника BDC.
Найдите ВЕ.

Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

Известно, что уравнение ax⁵ + bx⁴ + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx⁵ + bx + a = 0 также имеет три различных корня.

Решение

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что AM = AN.

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса прямого угла B пересекает гипотенузу AC в точке M.
Найдите расстояние от точки M до катета BC, если катет AB равен 5, а катет BC равен 8.

Решение

Дана линейка постоянной ширины (т.е. с параллельными краями) и без делений. Постройте биссектрису данного угла.

Решение

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15. Основание равно 60. Найдите радиус этой окружности.

Решение

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. ∠A = α, биссектриса угла B пересекает катет AC в точке K. На стороне BC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите угол AMK.

Решение

Авторы: Бакаев Е.В., Кожевников П.А., Расторгуев В.

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

Решение

Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Решение

На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD, равный AM. Докажите, что четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Решение

Найдите внутри треугольника ABC все такие точки P, чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках PA, PB и PC как на диаметрах, были равны.

Решение

Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Решение

Дана линейка с параллельными краями и без делений. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна (лежит вне чертежа).

Решение

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

Найдите геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла, разность расстояний от которых до сторон этого угла имеет данную величину.

Решение

Авторы: Блинков А.Д., Блинков Ю.А.

Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что BC || AD и AN = CM.
Верно ли, что ABCD – параллелограмм?

Решение

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований.

Решение

Задача 53531

Задача 53549

Задача 53556

Задача 54160

Задача 54165