Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

Вниз   Решение


Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла.

ВверхВниз   Решение


С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.

ВверхВниз   Решение



Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.

ВверхВниз   Решение



Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60o. Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объем пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

ВверхВниз   Решение


Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

ВверхВниз   Решение


Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

ВверхВниз   Решение


Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

ВверхВниз   Решение


На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

ВверхВниз   Решение


Автор: Белухов Н.

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

ВверхВниз   Решение



Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30o. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60o. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.

ВверхВниз   Решение


Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B1 и C1. Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

ВверхВниз   Решение


Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.

ВверхВниз   Решение


а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 92]      



Задача 54573

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54597

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54599

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76479

Тема:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.
Прислать комментарий     Решение


Задача 103990

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Удвоение медианы ]
Сложность: 3
Классы: 8

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 92]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .